Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico com base enumerável $\mathcal{B} = \{B_n: n \in \mathbb{N} \} $.

Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura qualquer de $X$. Para cada $x \in X$ tome $A_x \in \mathcal{C}$ tal que $x \in A_x$. Como $\mathcal{B} $ é base, podemos, para cada $x \in X$ tomar $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_x \subset A_{x}$. Seja $\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ tal que $\{B_x: x \in X\} = \{B_{x_n}: n \in \mathbb{N}\}$. Note que $\mathcal{C}'=\{ A_{x_n}: x \in X\} \subset \mathcal{C}$ é uma cobertura aberta enumerável de $X$, pois cada $B_{x_n} \subset A_{x_n}$. Logo, $X$ é de Lindelöf.