Topologia e conjuntos em exercícios

Note que, dado $f \in \omega^\omega$, temos que $\{n \in \omega: f(n) > f(n)\} = \emptyset$ e, portanto, finito. Assim, $f \leq^* f$.

Dados $f, g, h \in \omega^\omega$ temos $f \leq^* g$ e $g \leq^* h$. Perceba que $A = \{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ e $B = \{n \in \omega: g(n) > h(n)\}$ são ambos finitos, mas perceba que $C = \{n \in \omega: f(n) > h(n)\} \subset (A\cup B)$, como a união finita de conjuntos finitos é finita, temos que $C$ também é finito, ou seja, $f \leq^* h$.

Concluímos então que $\leq^*$ é uma pré ordem.