Topologia e conjuntos em exercícios

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Afirmações:

1. $f \leq^* g$ se $\{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ é finito.
2. $\exists n_0$ tal que $\forall n \geq n_0, f(n) \leq g(n)$.

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• $(1 \rightarrow 2)$

$A = \{n \in \omega: f(n) > g(n)\}$ é finito, ou seja, $A$ é limitado superiormente. Chamando de $n_0$ a menor das cotas superiores de $A$, teremos que $\forall n \geq n_0$, $f(n) \leq g(n)$.

• $(2 \rightarrow 1)$

$\exists n_0$ tal que $\forall n\geq n_0, f(n)\leq g(n)$. Isso significa que se existir $m<n_0$ tal que $f(m) < g(m)$ o conjunto $B = \{m \in \omega: f(m) < g(m)\}$ é limitado superiormente por $n_0$, isto é, $B$ é finito. Caso tal $m$ não exista, $B$ é vazio e portanto também é finito.