Topologia e conjuntos em exercícios

$ 1 \Longrightarrow 2 $

Suponhamos que o conjunto $ \{ n \in \mathbb{N} : x_n \notin A \} $ seja infinito, então tal conjunto não é limitado superiormente, portanto não existe $n_0$ tal que $ x_n \in A $ para todo $n \geq n_0$, portanto $x_n \nrightarrow x$.Contradição.

$ 1 \Longleftarrow 2 $

Como $\{ n \in \mathbb{N} : x_n \notin A \} \subset \mathbb{N} $ é finito é também limitado superiormente, ou seja, existe um $n_0$ tal que $x_n \in A$ se $n \geq n_0$, portanto $x_n \longrightarrow x$.