Topologia e conjuntos em exercícios

Sejam $f:X \rightarrow Y$ função contínua e $X$ separável com $D \subset X$ denso e enumerável. Assim, $f[X]$ é separável com $f[D]$ denso e enumerável.

De fato, note que como $D$ é enumerável, $f[D]$ também é enumerável.

Agora, como $f$ é contínua, temos que para todo aberto $B$ em $f[X]$ existe um aberto $A$ em $X$ tal que $f[A] \subset B$. Além disso, como $D \cap A \neq \emptyset$, temos que $f[D] \cap f[A] \neq \emptyset$. Como $f[A] \subset B$, temos $f[D] \cap B \neq \emptyset$, para $B$ aberto qualquer em $f[X]$.