Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $\mathcal{A} $ uma cobertura aberta de $f[X]$. Como $F$ é contínua $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$ para cada $A \in \mathcal{A}$, assim $\{ f^{-1}[A] | A \in \mathcal{A} \}$ é uma cobertura aberta de $X$. Como $X$ é compacto existe subcobertura finita $ \{ f^{-1}[A_1], \ldots , f^{-1}[A_n] \}$. Portanto $\{ A_1, \ldots , A_n \} \subset \mathcal{A}$ é subcobertura de finita de $f[X]$, consequentemente $f[X]$ é compacto.