Topologia e conjuntos em exercícios

Sejam \(\sigma_x\) e \(\sigma_y\) estratégias vencedoras para o jogador II nos espaços \(X\) e \(Y \), respectivamente. Construiremos uma estratégia \(\sigma\) vencedora para o jogador II em \(X \times Y\). Seja \(U_0\) a primeira escolha do jogador I no espaço \(X \times Y\). Fixam-se, então, abertos \(A_x^0\) e \(A_y^0\) de \(X\) e \(Y\) (resp.) tais que \(A_x^0 \times A_y^0 \subset U_0\) e definimos \(V_0 = \sigma(U_0) = \sigma_x(A_x^0) \times \sigma_y (A_y^0) = B_x^0 \times B_y^0\). Em seguida, o jogador I joga \(U_1 \subset V_0\) e fazemos o mesmo: Fixamos \(A_x^1\) e \(A_y^1\) tais que \(A_x^1 \times A_y^1 \subset U_1\) e definimos \(V_1 = \sigma(U_0, U_1) = \sigma_x(A_x^0,A_x^1) \times \sigma_y(A_y^0,A_y^1)= B_x^1 \times B_y^1\).

Continuando o processo, temos que \(\bigcap\limits_{i \in \omega} V_i = \bigcap\limits_{i \in \omega} B_x^i \times B_y^i = \bigcap\limits_{i \in \omega} B_x^i \times \bigcap\limits_{i \in \omega} B_y^i \neq \emptyset\) (já que \(\sigma_x\) e \(\sigma_y\) são estratégias vencedoras), concluímos que \(\sigma\) é vencedora.