Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos realizar uma prova por contrapositiva.
Suponha que existem infinitos elementos em $\{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$, defina $(q_n^{r \cap s})_{n \in \omega}$, como sendo $\{q_n^{r \cap s} : n \in \omega\} = \{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$.
Para todo $\epsilon > 0$, existe $n_{1} \in \omega$, tal que se $n \ge n_{1}$ então $|q_n^r - r| < \frac\epsilon2$, pois $q^r_n \rightarrow r$. Por outro lado, existe $n_{2} \in \omega$, tal que se $n \ge n_{2}$ então $|q_n^s - s| < \frac\epsilon2$, pois $q^s_n \rightarrow s$.
Considere $n_{0} = min\{n_{1}, n_{2}\}$, seja $n \ge n_{0}$, temos $|r - s| \le |r - q_n^{r \cap s}| + |q_n^{r \cap s} - s| < \frac\epsilon2 + \frac\epsilon2 = \epsilon$, para todo $\epsilon > 0$.
Logo $r = s$.