Topologia e conjuntos em exercícios

$\def\sen{\text{sen}}$

Começamos com o limite pela direita e fazemos a substituição $a = x^2$ e, portanto, $x = \sqrt{a}$ (note que só estamos lidando com $a, x > 0$). Assim:

\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sen(x^2)}{x} & = & \lim\limits_{a \to 0^+} \frac{\sen(a)}{\sqrt{a}}\\ & = & \lim\limits_{a \to 0^+} \frac{\sen(a)\sqrt{a}}{a}\\ & = & 0 \end{array}\]

Para o limite pela esquerda, fazemos a substituição $a = x^2$, mas neste caso $x = -\sqrt{a}$. Assim:

\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\sen(x^2)}{x} & = & \lim\limits_{a \to 0^+} \frac{\sen(a)}{-\sqrt{a}}\\ & = & \lim\limits_{a \to 0^+} -\frac{\sen(a)\sqrt{a}}{a}\\ & = & 0 \end{array}\]

Assim, o limite é $0$.