Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $f:\omega \rightarrow \{0,1\}$. Então temos que $$f(0)= a_0;\ f(1)=a_1;\ \ldots\;f(n)=a_n,\ \ldots $$ onde $a_i$ é $0$ ou $1$.
Note que podemos representar cada $f$ unicamente pela sequência formada pelos elementos $a_i$ como feito a cima, portanto basta mostrarmos que o conjunto formado por todas as sequências infinitas enumeráveis com elementos $0$ ou $1$ não é enumerável.

Afirmação: O conjunto $A=\{a^n = (a^n_1,\ a^n_2,\ \ldots)\ |\ a_i \in \{0,1\},\ \forall i\in \mathbb{N}\}$ é não enumerável.
Suponha que $A$ é enumerável. Então podemos criar uma lista com todos as sequências binárias enumeráveis $a^n$:

$$a^0 = (a^0_1,\ a^0_2,\ a^0_3,\ a^0_4,\ a^0_5,\ \ldots)$$ $$a^1 = (a^1_1,\ a^1_2,\ a^1_3,\ a^1_4,\ a^1_5,\ \ldots)$$ $$a^2 = (a^2_1,\ a^2_2,\ a^2_3,\ a^2_4,\ a^2_5,\ \ldots)$$ $$\ldots$$ $$a^n = (a^n_1,\ a^n_2,\ a^n_3,\ a^n_4,\ a^n_5,\ \ldots)$$ $$\ldots$$ Onde cada $a^j_i \in \{0,1\}$.

Considere agora a sequência enumerável binária $s=(s_1,\ s_2,\ s_3\ldots)$ formada pelos elementos da diagonal da tabela a cima trocados, ou seja:

$$s_i= \begin{cases} 0, & \text{se } a^i_i=1 \\ 1, & \text{se } a^i_i=0 \end{cases}$$

Claramente, $s\in A$, porém $s$ não é nenhum elemento da lista. Absurdo!
Logo, A é não enumerável e pela observação inicial, vale o resultado para as funções de $\omega$ em $\{0,1\}$ .

Essa técnica que utilizamos para resolver o problema chama-se Argumento pela Diagonal de Cantor. Você pode querer ler mais sobre isso em http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument