Topologia e conjuntos em exercícios

Tome $d_0 \in D_0$. Agora, como $d_0 \in P$ existe $d_1 \in D_1$ tal que $d_1 \leq d_0$. Procedendo dessa maneira, tome por $A$ o conjunto formado pelos $d_i \in D_i$, tal que $d_i \leq d_{i-1}$, com $d_0$ sendo o maior elemento. Temos então, pela maneira que $A$ foi construído, que dados $d_j, d_k \in A$ sempre teremos $d_j \leq d_k,d_j$, quando $k\leq j$ (temos o análogo quando $j \leq k$). Note que A é um conjunto do tipo do exercício anterior, portanto existe um filtro $F$, tal que $A \subset F$. Como, pela maneira que $A$ foi definido, $A\cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$, temos que $F \cap D_n \neq \emptyset$ para todo $n \in \omega$.