Topologia e conjuntos em exercícios

Queremos mostrar que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos em $\omega$, tal que $f[\{x_{n_k} : k \in \omega\}]$ é ilimitado em $\mathbb R$.
Note que $f^{-1}[(-\infty , -n) \cup (n , + \infty)]$ é um aberto, para todo $n \in \omega$, pois $f$ é uma função contínua. Além disso, $f^{-1}[(-\infty , -n) \cup (n , + \infty)]$ é não vazio, para todo $n \in \omega$. De fato, suponha que não, então existe $K \in \omega$, tal que $f^{-1}[(-\infty , -K) \cup (K , + \infty)] = \emptyset$, ou seja, $f[\psi(\mathcal{F})] \subset [ -K , K ]$. Contradizendo o fato de $f[\psi(\mathcal{F})]$ ser ilimitado em $\mathbb R$.
Como $\omega$ é denso em $\psi(\mathcal F)$, existe $x_n \in \omega$, tal que $f(x_n) \in (-\infty , -n) \cup (n , + \infty)$, para todo $n \in \omega$.
Seja $(x_{n})_{n \in \omega}$ sequência de pontos em $\omega$, obtida pela construção acima, então $f[\{x_{n_k} : k \in \omega \}]$ é um subconjunto ilimitado de $\mathbb R$.