Topologia e conjuntos em exercícios

Note que $(X \setminus \mathcal{F}) = \omega$. Seja $x \in X \setminus \mathcal{F}$, então $\{x\}$ é um aberto, tal que $(X \setminus \mathcal{F}) \cap \{x\} = \emptyset$. Logo $\mathcal F$ é fechado.
Resta mostrar que $\mathcal{F}$ é discreto em $\psi( \mathcal{F})$. Vamos provar que, para todo $F \in \mathcal{F}$, $\{F\}$ é aberto em $\mathcal F$.
De fato, note que $\{F\} \cup F$ é uma vizinhança básica de $F$. Além disso, $[\{F\} \cup F] \cap \mathcal F = \{F\}$. Ou seja, $\{F\}$ é aberto em $\mathcal F$.