Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $X$ enumeravelmente compacto e $F \subset X$ fechado.
Queremos mostrar que $F$ é enumeravelmente compacto.
De fato, seja $\mathcal U = \{U_i\}_{i \in \omega}$ cobertura aberta enumerável para $F$. Seja $U_i^*$ aberto em $X$, tal que $U_i = U_i^* \cap F$, para todo $i \in \omega$.
Note que $\mathcal U^* = \{U_i^*: U_i \in \mathcal U\} \cup \{(X \setminus F)\}$ é uma cobertura aberta enumerável, para $X$.
Como $X$ é enumeravelmente compacto, existe $\mathcal U'^*$