Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $\mathcal C$ uma cobertura de abertos (de $X$) para $F$. Considere $\mathcal A = \mathcal C \cup \{X \smallsetminus F\}$. Note que $\mathcal A$ forma uma cobertura de abertos para $X$. Como $X$ é compacto, então $\mathcal A$ admite subcobertura finita, vamos chamá-la de $\mathcal A'$. Se $\mathcal A'$ é subcobertura finita de $X$, então $\mathcal A' \smallsetminus \{X \smallsetminus F\}$ é subcobertura finita para $F$. Logo, $F$ é compacto.