Topologia e conjuntos em exercícios

• $1 \Rightarrow 2$

Para todo $F, G \in \mathcal F$ distintos temos que $F\cap G= \Delta$. Mas então, dado $a \in F\cap G$ temos que $a \in A,$ para todo $A \in \mathcal F$

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• $2 \Rightarrow 1$

Dados $A,B \in \mathcal F$ distintos, se $a \in A\cap B$, então $a \in F$ para todo $F \in \mathcal F$. Basta definir então $A \cap B = \Delta$ e, pela afirmação, teremos que $\Delta \subset F$, para todo $F \in \mathcal F$. Deste modo, para qualquer $F,G \in \mathcal F$ distintos temos $\Delta \subset F\cap G$. Agora, dado $a \in F\cap G$ de acordo com a hipótese temos que $a \in A$ e $a \in B$, isto é, $a \in A\cap B$ e, pela maneira que foi definido, $a\in \Delta$. Logo $F\cap G \subset \Delta$. Portanto $F \cap G = \Delta$.