Topologia e conjuntos em exercícios

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Seja $x \in \overline{A} $, considere o aberto $B_{\frac{1}{n} }(x)$ com $n \in \mathbb{N}-\{ 0 \}$, como $x$ é ponto aderente $B_{\frac{1}{n} }(x) \cap A \neq \emptyset $. Para cada $n \in \mathbb{N}$ escolhe-se $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x) \cap A$. A sequência $ (a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ converge pois, seja $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $ da propriedade de Arquimedes¹ $\exists n_0 \in \mathbb{N} $, tal que $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Por construção $a_n \in B_{ \frac{1}{n} }(x)$, logo $d(a_n, x) < \frac{1}{n}$. Se $n \geq n_0 $ temos que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} $, ou seja $d(a_n, x) < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon $ e portanto $a_n \longrightarrow x$.

1:Propriedade de Arquimedes