Topologia e conjuntos em exercícios

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Seja $x \in \overline{A}$ considere a $\varepsilon$-vizinhança de $x$ dada por $\mathcal{A} = \{ B_{\varepsilon}(x) | \varepsilon = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \} $, como $x$ é ponto aderente, temos que $B_{\varepsilon}(x) \cap A \neq \emptyset$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ escolhe-se $a_n \in B_{\varepsilon}(x) \cap A $. Note que a sequência $(a_n)_{n \mathbb{N} }$ converge para $x$, pois dado $\varepsilon > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N} $ tal que, se $n \geq n_0$ então $a_n \in B_{\varepsilon}(x)$.