Topologia e conjuntos em exercícios

Tome um conjunto $X$ não enumerável. Pelo Princípio da boa ordem existe $\leq$, uma boa ordem em $X$. Para cada $x \in X$ definimos $A_x = \{y \in X: y < x\}$. Agora nosso problema pode ser dividido em dois casos:

• Não existe $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável

Neste caso teremos então que $\forall x \in X$, $A_x$ é enumerável, mas essa é a definição de $\omega_1$, portanto $X$ é o próprio $\omega_1$.

• Existe $x \in X$ tal que $A_x$ seja não enumerável

Podemos então formar o conjunto $Z \subset X$, $Z = \{z \in X: A_z$ é não enumerável $\}$. Pela boa ordem de $X$ existe $a \in Z$ tal que $a \leq b, \forall b \in Z$. Tome $A_a$, sabemos que é um conjunto não enumerável com boa ordem e pela maneira como definimos $Z$ não existe $x \in A_a$ tal que $A_x \subset X$ seja não enumerável. Pelo caso anterior garantimos então que $A_a$ é o próprio $\omega_1$.

Assim garantimos a existência de $\omega_1$.