Topologia e conjuntos em exercícios

Dado \(d \in \mathbb{R_{>0}}\), tome \(x\) tal que \(B_d(x) \cap F\) é não enumerável. Definimos:

\(V_0 =\{B_d(x)\}\),

\(V_n = \{B_r(y - 2r), B_r(y), B_r(y + 2r): B_{3r}(y) \in V_{n-1}\}\); com \(r = \frac{d}{3^n}\), \(n \in \omega\).

Note que, para todo \(n \in \omega\), \(B_d(x) \backslash \bigcup V_n\) é enumerável, então todo \(V_i\) tem pelo menos um \(B_r(z_i)\) tal que \(B_r(z_i) \cap F\) é não enumerável.

Assim, suponha que nenhum \(V_i\) tem dois intervalos não consecutivos e com intersecção não enumerável com $F$, e para cada \(i \in \omega\) tome \(B_r(z_i)\) tal que \(B_r(z_i) \cap F\) é não enumerável. Ora, então a sequência \((z_i)_{i \in \omega}\) dos centros dessas bolas converge (pois é de cauchy) para \(z\), e temos que qualquer bola \(B_\varepsilon(y)\) é tal que \(B_\varepsilon(y) \cap F\) é não enumerável. Mas então podemos tomar a sequência \((C_i)_{i \in \omega}\) tal que \(C_i = B_d(x) \backslash \bigcup V'_n\) onde \(V'_n\) é o conjunto das bolas \(B\) de \(V_n\) tal que \(B \cap F\) é não enumerável. Temos então que \(\bigcup_{i \in \omega} C_i = B_d(x) \backslash \{z\}\) mas então \(B_d(x) \backslash \{z\} \cap F\) é enumerável, absurdo.