Topologia e conjuntos em exercícios

Como $f$ é contínua para cada $x \in X$ temos que $\forall A \subset Y$ aberto tal que $f(x) \in A$, $\exists B \subset X$ aberto tal que $x \in B$ e $f[B] \subset A$. Como $x_n \longrightarrow x $, $\exists n_0 \in \mathbb{N} $ tal que se $n \geq n_0$ então $x_n \in B$, portanto $f(x_n) \in A \forall n \geq n_0$ e consequentemente $ ( f(x_n) )_{ n \in \mathbb{N} }$ converge.