Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $x \in X \smallsetminus K$. Como $X$ é Hausdorff, para cada $y \in K$ existem abertos disjuntos $U_y$ e $A_y$, contendo $x,y$ respectivamente. Observe que o conjunto $\mathcal{A} = \{ A_y | y \in K \} $ é uma cobertura de $K$. Portanto existe $\mathcal{A}' = \{ A_{y_1},\ldots, A_{y_n} \} \subset \mathcal{A} $ subcobertura finita de $K$. Temos que $x \in Q = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n U_{y_i} $ e $K \subset R = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n A_{y_i} $. $Q \cap R = \emptyset$, então está concluída a demonstração.