Topologia e conjuntos em exercícios

Temos que $f[K]$ é um compacto em $\mathbb{R}$. Então $f[K]$ é fechado e limitado em $\mathbb{R}$, ou seja, $f[K] \subset [m,n], m,n \in \mathbb{R}$, portanto $\sup f[K], \inf f[K] \in f[K]$. Então, existem $a,b \in K$ tais que $f(a) \leq f(x) \leq f(b) \forall x \in K$.