Topologia e conjuntos em exercícios

Suponhamos que $g(x) \neq f(x) \in Y $ para algum $x \in X$, $Y$ é de Hausdorff, portanto existem abertos disjuntos $A,B$ tais que $f(x) \in A$ e $g(x) \in B$, como $f$ e $g$ são contínuas (da continuidade no ponto) temos que existem $C_1, C_2 \subset X$ abertos tais que $x \in C_1$ e $x \in C_2$ e $f[C_1] \subset A$ e $f[C_2] \subset B$. Da densidade de $D$ sabemos que $C_1 \cap D \neq \emptyset$ e $C_2 \cap D \neq \emptyset$, note que $f[C_1 \cap C_2 \cap D ] = g[ C_1 \cap C_2 \cap D ] \subset A$ e $f[C_1 \cap C_2 \cap D ] = g[ C_1 \cap C_2 \cap D ] \subset B$. Absurdo, pois $A$ e $B$ são disjuntos, logo $f(x) = g(x) \forall x \in X$