Topologia e conjuntos em exercícios

Da hipótese $(x_{n_k})_{n \in \mathbb{N} } $ é converge para $x$, isto é, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que se $n_k \geq n_0$ então $d(x, x_{n_k} ) < \frac{ \varepsilon}{2}$. Como $(x_n)_{ n \in \mathbb{ N} } $ é de Cauchy temos que existe $ n_1 \in \mathbb{N}$ de modo que, se $n, n_k \geq n_1$ temos que $ d(x_n, x_{n_k}) < \frac{ \varepsilon}{2}$. Sejam $n, n_k \geq \max \{n_0,n_1 \} $, da desigualdade triangular $d(x,x_n) \leq d(x, x_{n_k} ) + d(x_n, x_{n_k}) $, ou seja $d(x,x_n) < \varepsilon $ e portanto $(x_n)_{n \in \mathbb{N} }$ é convergente.