Topologia e conjuntos em exercícios

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$1 \Longrightarrow 2$ Decorre diretamente da definição de compacto.

$1 \Longleftarrow 2$

Seja $ \mathcal{A} $ uma cobertura aberta qualquer de $X$. Para cada $ x \in X$ tome $B_x \in \mathcal{B} $ tal que $x \in B_x$ onde $\mathcal{B}$ é uma base, temos então que $\mathcal{C} = \{ B_x | x \in B_x \subset \mathcal{B}, x \in X \}$ é uma cobertura aberta de $X$, então por hipótese existe subcobertura $\mathcal{C}' \subset \mathcal {C}$ finita. Uma vez que $\mathcal{A}$ é cobertura aberta de $X$, temos que se $C \in \mathcal{C}'$ então existe $A$ tal que $ C \subset A \in \mathcal{A}$, então $\mathcal{A}' = \{ A_c | c \in \mathcal{C}' \} \subset \mathcal{A}$ é subcobertura finita de $X$.