Topologia e conjuntos em exercícios

$(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ uma base.

$1 \Longrightarrow 2$ Decorre diretamente da definição de compacto.

$1 \Longleftarrow 2$

Queremos mostrar que para uma cobertura $\mathcal{A}$ aberta qualquer de $X$ existe uma subcobertura $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A} $ finita.

Seja $ \mathcal{A} $ uma cobertura aberta qualquer de $X$. Para cada $x \in X$ tome $A_x \in \mathcal{A}$ , tal que $x \in A_x $. Note que $\mathcal{A_x} = \{ A_x | A_x \in \mathcal{A} \} $ é uma cobertura de $X$. Agora, para cada $x \in X$ tome $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $ x \in B_x \subset A_x$. Tal $B_x$ existe pois $\mathcal{B}$ é uma base de $X$. Observe que $\mathcal{K} = \{B_x | x \in X\}$ é uma cobertura de $X$. Por hipótese, existe $\mathcal{K}' = \{B_{x_1}, \ldots, B_{x_n}\} \subset \mathcal{K}$ cobertura finita de $X$. Então $ \mathcal{A}'= \{ A_{x_1}, \ldots, A_{x_n} \} \subset \mathcal{A}$ é uma cobertura já que cada $B_{x_i} \subset A_{x_i} \forall i \in \{1,\ldots,n\}$.