Topologia e conjuntos em exercícios

Queremos mostrar que existe $g \in \omega^{\omega}$ tal que, para toda $f_n \in A$, $f_n \leq^* g$. Note que demonstrar isso é o mesmo que mostrar que os conjuntos $B_n = \{m \in \omega : g(m) < f_n(m)\}$ são finitos para todo $n \in \omega$. Vamos então construir uma $g$ que torna todos os $B_n$'s finitos. Defina $g(m) = 1$ + max$\{f_k(m) : k \leq m \}$. Como o conjunto $\{f_k(m) : k \leq m\}$ é sempre finito, então tomar o maior elemento dele está bem definido (note também que tal conjunto não é vazio, pois $f_0(m)$ está em cada um deles). Mas então temos que todos os $B_n$'s são finitos, pois para todo $x > n$ temos que $g(x) > f_n(x)$, logo, $B_n$ é limitado superiormente por $n$ e $B_n \subset \omega$, logo, é finito. Prova de que para todo $x > n$, $g(x) > f_n(x)$: Suponha que não, então existe $y > n$ tal que $g(y) \leq f_n(y)$. Mas note que $g(y) = 1$ + max$\{f_k(y) : k \leq y\}$. Como $y > n$, então em algum momento $k = n$. Caso $f_n(y) =$ max$\{f_k(y) : k \leq y\}$, então $g(y) = 1 + f_n(y)$. Absurdo, pois a hipótese inicial era de que $g(y) = 1 + f_n(y) \leq f_n(y)$. Caso $f_n(y) \neq$ max$\{f_k(y) : k \leq y\}$, então existe $f_k(y) > f_n(y)$. Logo, $g(y) = 1 + f_k(y) > f_n(y)$. Absurdo novamente pela hipótese inicial. Temos então o que queríamos.