Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $\mathcal B = \{ B_n : n \in \omega \}$ base de $X$. Note que se $D \in X$ denso, então para todo $n \in \omega$ existe $b \in D$ tal que $b \in B_n$. Basta então que o jogador II tome na n-ésima jogada $b_n \in B_n$.

De fato, como $\mathcal B$ é enumerável o jogador II consegue tomar ao menos um $b_n$ para cada $B_n$. Além disso, sabemos que, para todo $A$ aberto em $X$, existe $B_n \in \mathcal B$ tal que $B_n \subset A$, e consequentemente $b_n \in A$. Logo $\{b_n : b_n \in B_n , n \in \omega \}$ é denso.