Topologia e conjuntos em exercícios

Para mostrar que todo espaço métrico $ ( X, d) $ é de Hausdorff basta mostrar que dados $x,y \in X$, existem bolas abertas disjuntas centradas em $x$ e em $y$.

Para $x,y \in X$ considere $B_{\delta}(x)$ e $B_{\delta}(y)$ com $\delta = \frac{d(x,y)}{2}$. Suponha por absurdo que $\exists z \in B_{\delta}(x) \cap B_{\delta}(y)$. Note que $d(y,z) < \delta$ e $d(x,z) < \delta $. Absurdo, pois $ d(y,z) + d(x,z) < 2 \delta = d(x,y) $, que contradiz a definição de espaço métrico na desigualdade triangular: $d(x,y) \leq d(y,z) + d(x,z) $.