Topologia e conjuntos em exercícios

Primeiro vamos mostrar que em um espaço $X$ de Hausdorff, todo compacto $C\subset X$ é fechado.
Seja $C\subset X$ um compacto. Vamos construir uma cobertura aberta para $X\setminus C$ assim:
Tome $x\in X$, então para todo $c\in C$, tome $A_c$ e $B_c$ abertos tais que $x\in A_c$, $c\in B_c$ e $A_c\cap B_c=\emptyset$. $\mathcal{C}=\{B_c| c\in C\}$ é cobertura para $C$, portanto podemos tomar $c_0, c_1,\ldots, c_n$ tais que $\mathcal{C'}=\{B_{c_k}| k\leqslant n$, $k$ natural$\}$ é cobertura para $C$. Tomemos então os correspondentes $A_{c_k}$ e temos o aberto $A_x=\bigcap \{A_{c_k}| k\leqslant n$, $k$ natural$\}$. Temos então $x\in A_x$ e $A_x\cap C=\emptyset$.
Temos portanto $X\setminus C= \bigcup\{A_x| x\in X\setminus C\}$ é união de abertos, portanto $C$ é fechado.
Agora para a demonstração propriamente dita.
$1 \Rightarrow 2$ por definição.
$2 \Rightarrow 3$, pois tome $V$ vizinhança compacta de $x\in X$, então existe A aberto tal que $x \in A \subset V$, mas então $\overline{A}\subset \overline{V} = V$, pois V é fechado. Mas $\overline{A}$ é fechado em um compacto, portanto é compacto.
$3 \Rightarrow 1$, tome $x\in A$, $\overline{A}$ é compacto de Hausdorff, portanto é regular. Então dado $B\subset X$ aberto, existe $B'\subset A\cap B$ tal que $\overline{B'}\subset A\cap B$ e $x\in B'$. Mas então $\overline{B'}\subset \overline{A}$ e é fechado, portanto é compacto, temos então $x\in B'\subset \overline{B'} \subset B$, portanto existe sistema fundamental de vizinhanças compactas.