Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que $X$ é enumeravelmente compacto.
Seja $A$ um subconjunto infinito de $X$. Considere $B = \{b_n\}_{n \in \omega}$ um subconjunto infinito enumerável de $A$.
Vamos realizar a demonstração por contradição. Suponha que $A$ não possui ponto de acumulação, isso implica que $B$ não possui ponto de acumulação. Logo, $B$ é fechado.
Como $B$ não possui pontos de acumulação, para todo $b_n \in B$ existe $U_n$ aberto em $X$, de modo que: $$U_n \cap B = \{b_n\}$$ Note que, $\{(X \setminus B), U_n\}_{n \in \omega}$ é uma cobertura aberta enumerável para $X$. Como $X$ é enumeravelmente compacto existe $\{(X \setminus B), U_n\}_{n=0}^k$ subcobertura finita para $X$.
Como $B \subset \bigcup_{n=0}^k U_n$, temos que $B$ é um conjunto finito, pois $U_n \cap B = \{b_n\}$. O que é uma contradição, pois $B$ é infinito por hipótese.
Reciprocamente, suponha que todo conjunto infinito possui ponto de acumulação. Queremos demonstrar que $X$ é enumeravelmente compacto.
Vamos realizar a demonstração por contradição. Suponha que existe $\mathcal{U} = \{U_n\}_{n \in \omega}$ cobertura aberta enumerável que não admite subcobertura finita.

• Construção dos abertos $V_j$: Considere $x_1 \in X$, tal que $x_1 \not \in U_1$. Defina o seguinte conjunto:

$$V_1 = U_1$$ Como $\mathcal{U}$ é uma cobertura, existe $n_1 \in \omega$, tal que $x_1 \in U_{n_1}$. Considere $x_2 \in X$, tal que $x_2 \not \in \bigcup_{i=1}^{n_1} U_i$. Defina o seguinte conjunto: $$V_2 = \bigcup_{i=1}^{n_1} U_i$$ Como $\mathcal{U}$ é uma cobertura, existe $n \in \omega$, tal que $x_2 \in U_{n_2}$. Considere $x_3 \in X$, tal que $x_3 \not \in (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i)$. Defina o seguinte conjunto: $$ V_3 = (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) $$ Indutivamente, dado $j \in \omega$ como $\mathcal{U}$ é uma cobertura, existe $n \in \omega$, tal que $x_{j-1} \in U_{n_{j-1}}$. Considere $x_j \in X$, tal que $x_j \not \in (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) \cup \ldots \cup (\bigcup_{i=n_{j-2}+1}^{n_{j-1}} U_i)$. Defina o seguinte conjunto: $$ V_ j = (\bigcup_{i=1}^{n_1} U_i) \cup (\bigcup_{i=n_1+1}^{n_2} U_i) \cup \ldots \cup (\bigcup_{i=n_{j-2}+1}^{n_{j-1}} U_i)$$ Por construção, temos que $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$.
Como $x_i \neq x_j$ se $i \neq j$, o conjunto $D = \{x_1, x_2, \ldots\}$ é infinito. Note que, a sequência de abertos $(V_j)_{j \in \omega}$ é crescente. Além disso, temos: $$x_i \not \in V_j \text{ se } i \ge j \text{ $(*)$ }$$ Note que, $(V_j)_{j \in \omega}$ é uma cobertura por abertos para $X$. Como $D \subset X$ é infinito, existe $x \in X$ ponto de acumulação de $D$ e $(V_j)_{j \in \omega}$ é uma cobertura de $X$ existe $m_0 \in \omega$, tal que $x \in V_{m_0}$.

• Construção dos pontos $x_{m_i}$: Como $x$ é um ponto de acumulação de $D$, existe $m_1 \in \omega$ tal que $x_{m_1} \neq x \text{ e } x_{m_1} \in V_{m_0}$. Pela afirmação $ (*) $, temos $m_1 < m_0$. Como $X$ é $T_1$, o conjunto $X \setminus \{x_{m_1}\}$ é aberto e:

$$x \in V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\})$$ Então, existe $m_2 \in \omega$ tal que $x_{m_2} \in V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\})$. Particularmente $x_{m_2} \neq x_{m_1}$, então $m_2 \neq m_1$ e $x_{m_2} \neq x$. Pela afirmação $(*)$, temos $m_2 < m_0$. Como $X$ é $T_1$, o conjunto $X \setminus \{x_{m_2}\}$ é aberto e: $$x \in V_{m_0} \cap (X \setminus \{x_{m_1}\} \cup \{x_{m_2}\})$$ Como $x$ é um ponto de acumulação podemos continuar esse processo infinitamente. O conjunto $\{0, 1, \ldots, m_{0}-1\}$ é finito, o que implica que ficaremos sem índices distintos do estágio $m$ em diante, o que contradiz o fato de $x$ ser ponto de acumulação de $D$.