Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $\alpha$ a altura de Cantor-Bendixson de $X$.

$X^{(\alpha)} \subset X$ não tem ponto isolado. Daí se $X$ for disperso, $X^{(\alpha)} = \emptyset$. Provemos a recíproca.

Seja $Y \subset X$. Suponha que $Y$ não tem ponto isolado e vamos mostrar que $Y = \emptyset$. Em particular, $Y$ não contém nenhum ponto que seja isolado em $X$, pois tal ponto seria isolado em $Y$ (pois $Y \subset X$). Daí $Y \subset X'$. Podemos então repetir este argumento, obtendo que $Y \subset X^{(\beta)}$ para qualquer ordinal $\beta$. Em particular, $Y \subset X^{(\alpha)} = \emptyset$, portanto $Y = \emptyset$.