Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $(P,\tau)$ o plano de Niemytski, onde $\tau$ é a topologia definida no enunciado.

$5.1:$ Basta tomar o $D = \{(x,y) \in \mathbb{Q} : y \geq 0 \}$, $D \subset P$ é denso e enumerável.

$5.2:$ Considere a topologia de subespaço $\pi = \{ A \cap X : X \in \tau\} $, onde $A = \{ (x,0) : x \in \mathbb{R} \}$. Note que $ A \cap X = \emptyset$ se $X = B_r(x,y), y \neq 0$, e que $A \cap X = \{ x \} $ se $X = B_r(x,r) \cup \{ (x,0) \}$. Ou seja $\pi$ é uma topologia discreta, e como $x \in \mathbb{R}$, é também não enumerável.

$5.3$ Suponha que $P$ possui base enumerável $\mathcal{B}$. Então, todo subespaço $A$ de $P$ deve possuir uma base enumerável $ \mathcal{B} ' = \{ A \cap B : B \in \mathcal{B} \} $. Tomando $A = \{ (x,0) : x \in \mathbb{R} \}$, temos uma contradição, pois $A$ é discreto, considerando $(A, \pi)$ como no exercício anterior, se há uma base $\mathcal{L}$ tal que, $\forall Y \in \pi$ e $ \forall x \in Y$, existe $ L \in \mathcal{L}$ tal que $ x \in L \subset Y$. Pela construção de $\pi$ feita no item $5.2$, temos que $\mathcal{L}$ não pode ser enumerável.