Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $D = \{ d_n | n \in \mathbb{N} \}$ denso em $X$. Para cada $ n \in \mathbb{N}$ definimos $\mathcal{B}_n = \{ B_q(d_n) | q \in \mathbb{Q}_{>0} \}$. Considere $\mathcal{B} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_n $. Vamos provar que $\mathcal B$ é base.

Seja $A \subset X$ um aberto qualquer. Para $a \in A$ qualquer, tome $B_q(a) \subset A$ com $q \in \mathbb{Q}$ e considere o aberto $B_{ \frac{q}{2}}(a) \subset B_{q}(a) $. Como $B_{ \frac{q}{2}}(a)$ é aberto, temos que $B_{ \frac{q}{2}}(a) \cap D = M \neq \emptyset$. Tome então $d \in M$ e considere o aberto $B_{ \frac{q}{2}}(d)$ . Note que $a \in B_{ \frac{q}{2}}(d) \subset A$ e $B_{ \frac{q}{2}}(d) \in \mathcal{B}$. De fato, pois para $y \in B_{ \frac{q}{2}}(d)$ e $x \in B_{ \frac{q}{2}}(a)$, temos $d(y,d) < \frac{q}{2} $ e $d(x, d) < \frac{q}{2} $, respectivamente, da desigualdade triangular $d(x,y) < q$, ou seja $B_{ \frac{q}{2}}(d) \subset B_q(a) \subset A$ e claramente $a \in B_{ \frac{q}{2}}(d)$. Portanto $\mathcal{B}$ é base e é enumerável porque é união de enumeráveis, como queríamos demonstrar.