Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $D$ um denso enumerável em $Y$. Sabemos que $D$ existe pois $Y$ é separável.
Sabemos que $Y$ é denso em $X$, portanto, para qualquer $A \in \tau$, temos que $A \cap Y \neq \emptyset$. Mas na topologia induzida por $X$, $B = A \cap Y$ é aberto em $Y$. Assim $$D \cap B \neq \emptyset \Rightarrow D \cap ( A \cap Y ) \neq \emptyset \Rightarrow D \cap A \neq \emptyset.$$ Portanto $D$ é um denso enumerável de $X$.