Topologia e conjuntos em exercícios

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Se $\mathcal F$ separa pontos, então $\forall x,y \in X, \exists \alpha \in A$ tal que $f_\alpha (x) \neq f_\alpha (y)$.

Sejam $x,y \in X$ tais que $x \neq y$, então $\Delta_\alpha f_\alpha (x) = (f_\alpha (x))_{\alpha \in A}$ e $\Delta_\alpha f_\alpha (y) = (f_\alpha (y))_{\alpha \in A}$. Como $\mathcal F$ separa pontos, então $\exists \beta \in A$ tal que $f_\beta (x) \neq f_\beta (y)$. Portanto, $\Delta_\alpha f_\alpha (x)$ e $\Delta_\alpha f_\alpha (y)$ diferem em pelo menos uma coordenada. Logo, $\Delta_\alpha f_\alpha (x) \neq \Delta_\alpha f_\alpha (y)$.

Portanto, $\Delta_\alpha f_\alpha$ é injetora.