Topologia e conjuntos em exercícios

Já sabemos que $\mathcal F$ é injetora e contínua, se restringirmos o contradomínio para $Im(\Delta_\alpha f_\alpha)$, então $\Delta_\alpha f_\alpha$ é bijetora e contínua. Falta mostrarmos que $\Delta_\alpha f_\alpha ^{-1}$ é contínua.

Seja $U \subset X$ aberto, então $F = X \setminus U$ é fechado. Queremos mostrar que $\Delta_\alpha f_\alpha[U]$ é aberto. Como $\mathcal F$ separa pontos de fechados, se $x \in U (x \notin F)$,$\exists \alpha \in A$ tal que $ f_\alpha (y) \notin \overline{f_\alpha[F]}$, então $f_\alpha (y) \in X \setminus \overline{f_\alpha[F]}$. Logo, $X \setminus \overline{f_\alpha[F]}$ é aberto, como $ X \setminus \overline{f_\alpha[F]}$ é complementar de $\overline{f_\alpha[F]}$ então $X \setminus \overline{f_\alpha[F]} = f_\alpha[U]$ e portanto, $f_\alpha[U]$ é aberto, consequentemente $\Delta_\alpha f_\alpha[U]$ é aberto.

Portanto, $\Delta_\alpha f_\alpha ^{-1}$ é contínua.