Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $x_k$ o menor pico (que existe pois existem apenas finitos picos). Seja $x_{p_0}$ tal que $p_0 > k$, portanto $x_{p_0} < x_k$. Pela minimalidade de $x_k, x_{p_0}$ não pode ser pico. Então existe $p_1 > p_0$ tal que $x_{p_0} < x_{p_1}$. Analogamente, $x_{p_1}$ não pode ser pico, então existe $p_2 > p_1$ tal que $x_{p_2} > x_{p_1}$. Podemos definir uma sequência crescente seguindo a ideia anterior. De fato, suponha definida até $x_{p_{n-1}}$, que não pode ser pico. Portanto existe $p_n > p_{n-1}$ tal que $x_{p_n} > x_{p_{n-1}}$. Adicione $x_{p_n}$ a sequência. Note que, definida dessa forma, a subsequência $(x_{p_n})_{n \in \omega}$ é infinita e crescente, como queríamos.