Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $ ( x_n)_{n \in \mathbb{N} } $ tal que $x_n \longrightarrow x$ em um espaço métrico, então $(\forall B_{\frac{ \varepsilon}{2} }(x)) (\exists n_0)$ tal que se $n \geq n_0$ então $x_n \in B_{\frac{ \varepsilon}{2} }(x) $. Sejam $a,b \geq n_0$ temos que $d(x_{b}, x) < \frac{ \varepsilon }{2}$ e $d(x, x_a) < \frac{ \varepsilon }{2}$ logo, da desigualdade triangular $d(x_{b}, x_a) \leq d(x, x_a) + d(x_{b}, x)$ ,ou seja $d(x_{b}, x_a) \leq \varepsilon $.