Topologia e conjuntos em exercícios

Queremos mostrar que existe uma compactificação $c\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}$ tal que $c\mathbb{R} \setminus \mathbb{R} = \{a\}$.
Defina em $c\mathbb{R}$ a topologia $\sigma = \{A \in \tau_{ \mathbb{R}}\} \cup \{\{a\} \cup (\mathbb{R} \setminus K), K \subset \mathbb{R} $ compacto $ \}$, onde $\tau_{ \mathbb{R}}$ é a topologia usual de $\mathbb{R}$.
Seja $\mathcal{U} = \{U_{i}\}_{i \in I}$ uma cobertura por abertos para $c\mathbb{R}$, então existe $U_{k} \in \mathcal{U}$ tal que $a \in U_{k}$. Como toda vizinhança aberta de $a$ é da forma $\{a\} \cup (\mathbb{R} \setminus K)$, onde $K \subset \mathbb{R}$ é compacto, temos $\mathcal{V} = \{U_{i}\cap \mathbb{R}\}_{i \in I}$,$_{i \neq k}$ uma cobertura por abertos para $K$. Portanto existe $V_{1} = U_{1} \cap \mathbb{R}, \ldots,V_{n} = U_{n} \cap \mathbb{R} \in \mathcal{V}$ subcobertura finita para $K$.
Então $U_{k},V_{1}, \ldots,V_{n}$ é uma subcobertura finita para $c\mathbb{R}$, logo $c\mathbb{R}$ é compacto.
Agora vamos mostrar que $c\mathbb{R}$ é Haudorff. De fato, considere $x,y \in c\mathbb{R}$ com $x \neq y$.

• Caso $x \neq a$ e $y \neq a : $ Temos $x,y \in \mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ é Hausdorff existem $A,B$ abertos disjuntos (em $\mathbb{R}$) tais que $x \in A$, $y \in B$.
  
• Caso $x = a$ ou $y = a$ : Sem perdas suponha que $x = a$. Defina $A = \{a\} \cup (\mathbb{R} \setminus [y - \frac{1}{n} , y + \frac{1}{n}])$, para algum $n \in \omega$. Note que $A$ é uma vizinhança aberta de $a$ e que $B = [y - \frac{1}{n} , y + \frac{1}{n}]$ é uma vizinhança compacta de $y$. Definindo $B = ]y - \frac{1}{n} , y + \frac{1}{n}[$, temos $A \cap B = \emptyset$.
  

Resta mostrar que $\mathbb{R}$ é denso em $c\mathbb{R}$. Seja $A \subset c\mathbb{R}$ não vazio.

• Caso $a \notin A$ : Temos $A \subset \mathbb{R}$, então $\mathbb{R} \cap A \neq \emptyset$.
  
• Caso $a \in A$ : Logo, $\mathbb{R} \cap A \neq \emptyset$, pela definição da topologia $\sigma$.