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Vamos assumir que existe uma família $\mathcal{F}$ de esferas disjuntas tal que $\bigcup \mathcal{F} = \mathbb R^3$. Para obter uma contradição, construiremos, por indução, uma sequência $\{\mathcal{E}_n: n<\omega\}$ de elementos de $\mathcal{F}$ da seguinte forma:
Comece com uma esfera $\mathcal{E}_0\in\mathcal{F}$ qualquer, e no passo n+1 tome uma esfera $\mathcal{E}_{n+1}\in\mathcal{F}$ que contém o centro $\mathcal{e}_n$ de $\mathcal{E}_n$, ou seja, $\mathcal{E}_1$ contém o centro $\mathcal{e}_0$ de $\mathcal{E}_0$, $\mathcal{E}_2$ contém o centro $\mathcal{e}_1$ de $\mathcal{E}_1$, e assim por diante.
Note que, se $\mathcal{r}_n$ é o raio de $\mathcal{E}_n$, então $\mathcal{r}_{n+1} < \mathcal{r}_n/2$, caso contrário $\mathcal{E}_{n+1}$ e $\mathcal{E}_n$ não seriam disjuntas. Portanto $|\mathcal{e}_{n+1}-\mathcal{e}_n| = \mathcal{r}_{n+1} < \mathcal{r}_n/2$. Dessa forma, obtemos $\langle\mathcal{e}_n: n<\omega\rangle$, que é uma sequência de Cauchy¹.
Seja $p = \lim_{n \to \infty} \mathcal{e}_n $. Então p pertence ao interior de todas as esferas $\mathcal{E}_n$, para todo n < $\omega$. Portanto p não pertence a nenhuma esfera $\mathcal{E}_n$, já que p pertence também ao interior de $\mathcal{E}_{n+1}$, que é disjunto a $\mathcal{E}_n$.
Tome $\mathcal{E} \in \mathcal{F}$ tal que p $\in \mathcal{E}$. Então, pelo resultado anterior, $\mathcal{E} \neq \mathcal{E}_n$, para todo n < $\omega$. Mas se n < $\omega$ é tal que $\mathcal{r}_n$ é menor que o raio de $\mathcal{E}$, então $\mathcal{E} \bigcap \mathcal{E}_n \neq \emptyset$. O que contradiz a escolha de $\mathcal{F}$.
¹$(x_n)_{n<\omega}$ é uma sequência de Cauchy se: $\forall \epsilon>0$, $\exists n_0$ tal que $\forall$ m,n $\geq n_0$ d($x_n$,$x_m$)<$\epsilon$.
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