Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos assumir que existe uma família $\mathcal{F}$ de circunferências disjuntas tal que $\bigcup \mathcal{F} = \mathbb R^2$. Para obter uma contradição construiremos por indução uma sequência $\{\mathcal{C}_n: n<\omega\}$ de elementos de $\mathcal{F}$ da seguinte forma:

Comece com uma circunferência $\mathcal{C}_0\in\mathcal{F}$ qualquer, e no passo n+1 tome uma circunferência $\mathcal{C}_{n+1}\in\mathcal{F}$ que contém o centro $\mathcal{c}_n$ de $\mathcal{C}_n$, ou seja, $\mathcal{C}_1$ contém o centro $\mathcal{c}_0$ de $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_2$ contém o centro $\mathcal{c}_1$ de $\mathcal{C}_1$, e assim por diante.

Note que, se $\mathcal{r}_n$ é o raio de $\mathcal{C}_n$, então $\mathcal{r}_{n+1}$ < $\frac {\mathcal{r}_n}{2}$, caso contrário $\mathcal{C}_{n+1}$ e $\mathcal{C}_n$ não seriam disjuntas. Portanto $|\mathcal{c}_{n+1}-\mathcal{c}_n| = \mathcal{r}_{n+1} < \frac {\mathcal{r}_n}{2}$. Dessa forma, obtemos $\langle\mathcal{c}_n: n<\omega\rangle$, que é uma sequência de Cauchy¹.

Seja $p = \lim_{n \to \infty} \mathcal{c}_n $. Então p pertence ao disco limitado por $\mathcal{C}_n$, para todo n < $\omega$. Portanto p não pertence a nenhuma circunferência $\mathcal{C}_n$, já que p pertence também ao disco limitado por $\mathcal{C}_{n+1}$, que é disjunto a $\mathcal{C}_n$.

Tome $\mathcal{C} \in \mathcal{F}$ tal que p $\in \mathcal{C}$. Então, pelo resultado anterior, $\mathcal{C} \neq \mathcal{C}_n$ para todo n < $\omega$. Mas se n < $\omega$ é tal que $\mathcal{r}_n$ é menor que o raio de $\mathcal{C}$, então $\mathcal{C} \cap \mathcal{C}_n \neq \emptyset$. O que contradiz a escolha de $\mathcal{F}$.

¹$(x_n)_{n<\omega}$ é uma sequência de Cauchy se: $\forall \epsilon>0$, $\exists n_0$ tal que $\forall$ m,n $\geq n_0$ d($x_n$,$x_m$)< $\epsilon$.