Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha CH verdadeira. Então podemos admitir $\mathbb R$ com uma boa ordem $\preceq$ tal que $\{x \in \mathbb R: x \preceq y\}$ é enumerável para todo $y \in \mathbb R$. Tome $A = \{(x,y) \in \mathbb R^2: x \preceq y\}$. Dessa forma, dado $y \in \mathbb R, H(A,y)$ é enumerável, pois $H(A,y) = \{x \in \mathbb R: x \preceq y\}$. Analogamente, dado $x \in \mathbb R, V(\mathbb R^2\setminus A, x)$ é enumerável, pois $\mathbb R^2 \setminus A = \{(x,y) \in \mathbb R^2: y \preceq x\}$ é enumerável.