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$1) \Rightarrow 2)$: Temos que $X$ é um conjunto bem ordenado. Suponha que exista uma sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ de elementos de $X$ onde $x_n>x_{n+1}$, e defina $A\subset X$ como sendo o conjunto formado pelos elementos dela. Como a sequência é infinita e estritamente decrescente, segue que $A$ não possui um menor elemento, o que contradiz a boa ordem de X. Portanto não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de elementos de $X$.
$2) \Rightarrow 1)$: Tome um conjunto não vazio $A\subset X$ qualquer e suponha a não existência de um mínimo para $A$. Podemos definir uma sequência infinita estritamente decrescente de elementos de $A$ da seguinte forma:
Tome $x_0 \in A$ qualquer, que existe pois $A$ é não vazio. Note que $A$ não possuir um elemento mínimo implica que existe um $x_1 < x_0$ em $A$. Analogamente, existe um $x_2 < x_1$, caso contrário $x_1$ seria o mínimo, da mesma forma mostra-se que existe um $x_3 < x_2$ e assim sucessivamente. Dessa forma podemos construir uma sequência decrescente infinita $(x_n)_{n \in \omega}$ de elementos de $X$, onde $x_n>x_{n+1}$. Mas por hipótese isso não é possível, ou seja, segue por absurdo que $A$ deve possuir um elemento mínimo e assim $X$ deve ser bem ordenado.
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