Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $A' := \{(0, a) : a \in A\}$ e $B' := \{(1,b) : b \in B\}$. Note que $A'$ e $B'$ são disjuntos.

Por hipótese, temos que existem $f: A \to B$ injetora e $g: B \to A$ injetora. Vamos mostrar que existem $\varphi: A \to A'$ e $\psi: B \to B'$ bijetoras.

Defina $\varphi(a) = (0, a)$ e $\psi(b) = (1, b)$, então dados $(0, a) \in A'$ e $(1, b) \in B'$ existe $a \in A$ e $b \in B$ tal que $\varphi(a) = (0, a)$ e $\psi(b) = (1, b)$ pela própria construção de $A'$ e $B'$, então $\varphi$ e $\psi$ são sobrejetoras.

Dados $a_1 \neq a_2 \in A$ e $b_1 \neq b_2 \in B$, $\varphi(a_1) = (0, a_1) \neq (0, a_2) = \varphi(a_2)$, logo, $\varphi$ é injetora. O mesmo vale pra $\psi$, ou seja, $\psi(b_1) = (1, b_1) \neq (1, b_2) = \psi(b_2)$, então $\psi$ é injetora.

Note que agora caímos no caso em que os conjuntos são disjuntos, logo, existe $\phi: A' \to B'$ bijetora.

Seja agora $h: A \to B$ a composta $\varphi \circ \phi \circ \psi$. Para todo $b \in B$ existe um único $(1, b) \in B'$, pois $\psi$ é bijetora, mas pra todo $(1, b) \in B'$ também existe um único $(0, a) \in A'$ pelo teorema aplicado no caso dos conjuntos disjuntos, e por final temos que para todo $(0, a) \in A'$ existe um único $a \in A$ pela bijeção de $\varphi$. Logo, para todo $b \in B$ existe um único $a \in A$ tal que $h(a) = b$, então $h$ é bijetora.