Topologia e conjuntos em exercícios

Em primeiro lugar considere o conjunto $\mathcal K = \{(B, B') \in \mathcal B^2: B \subset B'\}$ e para cada elemento de $(B,B') \in \mathcal K$ associe, caso exista, um $C_{(B,B')} \in \mathcal C$ tal que $B' \subset C \subset B$, caso contrário associe $\emptyset$. Afirmamos que $\mathcal C' = \{C_{(B, B')}: (B, B') \in \mathcal K\}$ é uma base enumerável.
Tome um aberto $A$ qualquer e $x \in A$, como $\mathcal B$ é base, existe $B \in \mathcal B$ com $B \subset A$ e $x \in B$. Da mesma forma, como $B$ é aberto, existe $C \in \mathcal C$ tal que $C \subset B$ e $x \in C$ e também $B' \in \mathcal B$ tal que $B' \subset C$ e $x \in B'$, ou seja, $B' \subset C \subset B$ e $x \in B,C,B'$. Portanto existe ao menos um elemento $C'$ tal que para qualquer aberto $A$ e ponto $x \in A$, $B' \subset C' \subset B$, ou seja, existe ao menos um $C' \in \mathcal C'$ tal que $C' \subset A$ e $x \in C'$. Concluimos então que $\mathcal C'$ é base.
Mas sabemos que $\mathcal B$ é enumerável, portanto $\mathcal K = \{(B, B') \in \mathcal B^2: B \subset B'\}$ é enumerável, logo, $\mathcal C'$ é enumerável.