Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $W \subset X \times Y$ um aberto qualquer e tome $(a,b) \in W$. Como $W$ é aberto, então existem $A \in \tau$ e $B \in \rho$ tais que $a \in A$, $b \in B$ e $(a,b) \in A \times B \subset W$. Mas note que $A \times B = \pi^{-1}_X[A] \cap \pi^{-1}_Y[B]$. Prova: Vamos mostrar que $A \times B \subset \pi_X^{-1}[A] \cap \pi_Y^{-1}[B]$ . Tome $(x,y) \in A \times B$, logo, $x \in A \subset X$ e $y \in B \subset Y$. Como $A \times Y = \pi^{-1}_X[A]$, então temos que $(x,y) \in \pi^{-1}_X[A]$. E como $X \times B = \pi^{-1}_Y[B]$, então $(x,y) \in\pi^{-1}_Y[B]$. Ou seja, $(x,y) \in \pi^{-1}_X[A] \cap \pi^{-1}_Y[B]$. Agora vamos mostrar que $\pi_X^{-1}[A] \cap \pi_Y^{-1}[B] \subset A \times B$: Tome $(x,y) \in \pi^{-1}_X[A] \cap \pi^{-1}_Y[B]$. Como $\pi^{-1}_X[A] = A \times Y$, então $(x,y) \in A \times Y$. Como $\pi^{-1}_Y[B] = X \times B$, então $(x,y) \in X \times B$. Mas note que $(A \times Y) \cap (X \times B) = A \times B$, logo, temos o resultado.