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Primeiramente vamos mostrar que $F \subset V$ e que $G \subset W$. Tome $x \in F$. Sabemos, por 10.3, que $x \in V_k$ pra algum $V_k \in \mathcal V$. Então só nos resta mostrar que $x \notin \bigcup_{n \leq k} \overline {W_n}$. Suponha que $x \in \bigcup_{n \leq k} \overline {W_n}$, então $x \in \overline {W_n}$ pra algum $n \leq k$. Mas note que $W_n = B$ onde $B \in \mathcal B$ e $\overline B \cap F = \emptyset$. Absurdo, então $F \subset V$. Analogamente provamos que $G \subset W$.
Agora vamos mostrar que $V$ e $W$ são abertos disjuntos. Como cada $V_k'$ e $W_k'$ são abertos, então $V$ e $W$ são abertos, pois são união de abertos. Suponha que existe $x \in V \cap W$, então $x \in V_k'$ pra algum $V_k'$. Note que $V_k' \subset \overline {V_k'}$. Mas se $x \in W$, então $x \notin \bigcup_{n \leq k} \overline {V_n}$. Absurdo, então $V \cap W$ são disjuntos.
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