Topologia e conjuntos em exercícios

Sejam $X$ espaço compacto de Hausdorff e $(A_n)_{n\in \omega}$ família de abertos densos.
Tome $V\subset X$ aberto não vazio, então existe $B_1\subset V\cap A_1$ aberto não vazio com $\overline{B_1}\subset V\cap A_1$. Da mesma forma, $B_1\cap A_2$ é aberto, portanto tomamos $B_2\subset B_1\cap A_2$ com $\overline{B_2}\subset B_1\cap A_2$.
Podemos construir de forma análoga $\{B_3, B_4, B_5,\ldots\}$. Como $X$ é compacto, a família centrada de fechados $\{\overline{B_1}, \overline{B_2},\ldots\}$ tem intersecção não vazia, mas $\bigcap\{\overline{B_n}|n\in \omega\}\subset \bigcap\{A_n|n\in \omega\}$ e $\bigcap\{\overline{B_n}|n\in \omega\}\subset V$, portanto $\bigcap\{A_n|n\in \omega\}\cap V\neq \emptyset$